ماذا نتعلم من هذا الدرس

ضرب مقدارين ذي حدين حالات خاصة:
مربع مقدار ذي حدين ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما


ضرب مقدارين ذي حدين يتكون حاصل الضرب بمجرد النظر بصفة عامة من ثلاث حدود. ويمكن توضيح ذلك كالتالي:
) أ س + + د (


الحد الأول:
ناتج عن عملية ضرب )الحد الأول من المقدار الأول ´ الحد الأول من المقدار الثاني(
= أ س ´ جـ س = أ جـ س2

الحد الأوسط:
هو )حاصل ضرب الحدين الوسطين + حاصل ضرب الحدين الطرفين(
= )ب جـ + أ د( س

الحد الثالث:
ناتج عن عملية ضرب )الحد الثاني من المقدار الأول ´ الحد الثاني من المقدار الثاني(
= ب د

الناتج النهائي هو أ جـ س2 + )ب جـ س + أ د س( + ب د
حاصل ضرب مقدارين متشابهين = حاصل ضرب الحدين الأولين من القوسين
+ المجموع الجبري لحاصلي ضرب الوسطين والطرفين
+ حاصل ضرب الحدين الثانيين في القوسين
أوجد بمجرد النظر ناتج حاصل ضرب:
)4 س + 2 ص( )2 س - 2 ص(

والأمثلة التالية لتوضيح ما سبق: أوجد بمجرد النظر ناتج كل من:
1. )5 أ - 3 ب( )2 ب + 2 أ(
2. )2 س + 3 ص( )س + 4 ص(
3. )س + 2( )س - 7(
لابد من ترتيب كلا من المقدارين نفس الترتيب بالنسبة للحدود:

1. )5 أ - 3 ب( )2 ب + 2 أ(
= )2 ´ 5( أ2 + ]5 ´ 2 + )- 3( ´ 2[ أ ب + )- 3 ´ 2( ب2
= 10 أ2 + )10 - 6( أ ب - 6 ب2 10 أ2 + 4 أ ب - 6 ب2
2. )2 س + 3 ص( )س + 4 ص(
= 2 س2 + )2 ´ 4 + 3( س ص + )3 ´ 4( ص2
= 2 س2 + )8 + 3( س ص + 12 ص2 2 س2 + 11 س ص + 12 ص2
3. )س + 2( )س - 7(
= س2 + )- 7 س + 2 س( + )2 ´ - 7( س2 - 5 س - 14



عندما يكون معامل الحد الأول يساوي الوحدة:
)س + م( )س + ن( = س2 + )م + ن( س + م ن حاصل ضرب مقدارين جبريين يتكون كل منهما من حدين لا يختلفان إلا في الإشارة بين الحدين يساوي مربع الحد الأول في أحد المقدارين مطروحاً منه مربع الحد الثاني كالتالي:
)س + ص( )س - ص( =س2 - ص2


حالات خاص أولاً: مربع مقدار ذي حدين بمجرد النظر مربع مقدار ذي حدين بمجرد النظر هو حاصل ضرب مقدار ذي حدين ´ نفسه. أوجد الناتج بمجرد النظر: )س + ص(2
)س + ص(2 = )س + ص( )س + ص(
= س2 + 2 س ص + ص2








مربع مقدار ذي حدين = مربع الحد الأول
± 2 )الحد الأول ´ الحد الثاني(
+ مربع الحد الثاني
أوجد ناتج كل مما يأتي بمجرد النظر:
)2 أ + 3(2
)4 س - 3 ص(2
)397(2
)2 أ + 3(2 = )2 أ(2+ 2 )2 أ( )3( + )3(2 4 أ2 + 12 أ + 9
)4 س - 3 ص(2 = )4 س(2 + )2 )4 س( - 3 ص( + )- 3 ص(2 16 س2- 24 س ص + 9 ص2
)397(2 = )400- 3(2
= )400(2 + 2 )400( )-3( + )- 3(2
= 160000 - 2400 + 9 157609


ثانيُا: ضرب مجموع حدين في الفرق بينهم ضرب مجموع حدين في
الفرق بينهما هو حاصل ضرب مقدار مكون من حدين موجبين
´ مقدار مكون من الفرق بين نفس الحدين.
أوجد الناتج بمجرد النظر: )س + ص( )س - ص(
)س + ص( )س - ص( = س2 + )س ص - س ص( - ص2
= س2- ص2








قاعدة
حاصل ضرب مجموع حدين ´ الفرق بينهما
= مربع الحد الأول - مربع الحد الثاني
أوجد ناتج كل مما يأتي:
1) )3 س + 8( )3 س - 8(
2) )1 - ص( )1 + ص( )1 + ص2(
1) )3س + 8( )3س - 8( = )3س(2 + 24 س - 24 س - )8(2 9 س2 - 64
2) )1 - ص( )1 + ص( )1 + ص2( = ])1(2 - )ص(2[ )1 + ص(2
= )1 - ص2( )1 + ص2(
= )1(2 - )ص2(2 1 - ص4


في حالة مربع مقدار ذي حدين بمجرد النظر
يكون الحدان الأول والأخير دائمًا موجبان حتى إذا حمل
أحداهما إشارة سالبة حيث أن مربع أي رقم سالب يكون موجب.
إشارة الحد الأوسط تتبع حاصل ضرب إشارتي
الحد الأول في الحد الثاني. أي إذا كانت إشارة الحد الأول أو الثاني
سالبة تكون إشارة الحد الأوسط سالبة. أما إذا كانت إشارة
الحدين الأول والثاني سالبة فإن إشارة الحد الأوسط تكون
موجبة.

يسمح بالنقل ولكن بشرط ذكر المصدر